Question

【题目】已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2）画出该函数的图象，并写出该函数的单调区间（不用证明）；

（3）若函数恰有3个不同零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）图象见解析，单调递减区间是，单调递增区间和；（3）

【解析】

（1）由时，，从而可得，解不等式组即可；

（2）结合指数函数的性质，及二次函数的性质，可得到的单调区间，并作出函数的图象；

（3）由恰有3个不同零点，可知与的图象有3个不同交点，结合的图象，可求得的取值范围.

（1）由题意，当时，，则，解得.

（2）当时，，

因为函数在上单调递减，所以在上单调递增.

当时，，此时是对称轴为的二次函数的一部分，所以在上单调递减，在上单调递增.

当时，，当时，.

作出函数的图象，如下图所示：

所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是和.

（3）函数恰有3个不同零点，即方程有3个不同解，

所以函数与直线的图象有3个不同交点，

由的图象知，当，与直线的图象有3个不同交点，

所以实数的取值范围是.