Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，0）（a≠0），圆C的圆心在直线y=-4x上，并且与直线l：x+y-1=0相切于点P（3，-2）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若动点M满足|MA|=2|MO|，求点M的轨迹方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得|CM|的取值范围是[1，9]，说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）设出圆心与半径，根据圆C的圆心在直线y=-4x上，可得圆心C（a，-4a），利用圆与直线l：x+y-1=0相切于点P（3，-2），根据点到直线的距离公式，即可求出圆心与半径，从而可求圆C的方程；
（Ⅱ）根据动点M满足|MA|=2|MO|，建立方程，化简可求点M的轨迹方程；
（Ⅲ）分类讨论，圆D与圆C外离；圆C内含于圆D，根据|CM|的取值范围是[1，9]，即可求出实数a的值．

解答： 解：（Ⅰ）设所求圆的圆心坐标为C（a，b），半径为r．
因为圆心C（a，b）在直线y=-4x上，
所以b=-4a，即圆心C（a，-4a）．
因为圆C与直线l：x+y-1=0相切于点P（3，-2），
所以圆心C（a，-4a）到直线l的距离d=|PC|．
即 

|a-4a-1|

2

=

(a-3)2+(-4a+2)2

．
整理得：a²-2a+1=0．
解得：a=1．
所以圆C的方程为（x-1）²+（y+4）²=8…（4分）
（Ⅱ）设M（x，y）．
因为|MA|=2|MO|，所以

(x-a)2+y2

=2

x2+y2

．
整理得 (x+

a

3

)2+y2=

4a2

9

．
即点M的轨迹是以D(-

a

3

，0)为圆心，r=

2

3

|a|为半径的圆D．…（8分）
（Ⅲ）存在实数a，使得|CM|的取值范围是[1，9]．
（1）当圆D与圆C外离时，依题意可得：

|CD|+r=9 |CD|-r=1.

，即

|CD|=5 r=4.

．
由|CD|=5解得a=6或-12；由r=4解得a=6或-6，
所以a=6．
（2）当圆C内含于圆D时，依题意可得：

r+|CD|=9 r-|CD|=1.

即

|CD|=4 r=5.

由|CD|=

(1+ 1 3 a)2+16

=4，解得a=-3．
此时r=

2

3

|-3|=2，与r=5矛盾．
综上所述，存在实数a=6，使得|CM|的取值范围是[1，9]．…（13分）

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．