Question

设点P（x，y）为平面上以A（4，0），B（0，4），C（1，2）为顶点的三角形区域（包括边界）上一动点，O为原点，且

OP

=λ

OA

+μ

OB

，则λ+μ的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：根据向量的坐标运算，可得（x，y）=（4λ，4μ），从而可得λ+μ=

x

4

+

y

4

，利用平面区域，即可得出结论．

解答： 解：∵P（x，y），A（4，0），B（0，4），

OP

=λ

OA

+μ

OB

，
∴（x，y）=（4λ，4μ），
∴λ=

x

4

，μ=

y

4

，
∴λ+μ=

x

4

+

y

4

．
∵点P（x，y）为平面上以A（4，0），B（0，4），C（1，2）为顶点的三角形区域（包括边界）上一动点，
∴λ+μ=

x

4

+

y

4

在点A或点B处取得最大值1，在点C处取得最小值

3

4

，
∴λ+μ的取值范围为[

3

4

，

1]．
故答案为：[

3

4

，

1]．

点评：本题考查向量的坐标运算，考查不等式组不是的平面区域，考查学生的计算能力，属于中档题．