Question

已知f（x）=2sinx（cosx-sinx），其中x∈R，
（1）求函数f（x）的最小正周期，并指出函数y=sin2x的图象如何变换成y=f（x）的图象；（要求变换的先后顺序）
（2）在△ABC中角A，B，C对应边分别为a，b，c，f（A）=0，b=4，S_△ABC=6，求a的长．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理的应用

专题：综合题,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）利用三角函数中的恒等变换可求得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）-1，从而可求得函数f（x）的最小正周期；利用三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求得函数y=sin2x的图象如何变换成y=f（x）的图象的；
（2）由f（A）=0可求得A=

π

4

，再由b=4，S_△ABC=6可求得c=3

2

，利用余弦定理即可求得a．

解答： 解：（1）∵f（x）=2sinx（cosx-sinx）
=sin2x-（1-cos2x）
=sin2x+cos2x-1
=

2

sin（2x+

π

4

）-1，
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
要得到y=sin2x的图象，需将函数f（x）的图象作如下变换：
先将y=f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）-1的图象向右平移

π

8

个单位，得到y=

2

sin2x-1的图象，
再将y=

2

sin2x-1的图象向上平移1个单位，得到y=

2

sin2x的图象，
最后将y=

2

sin2x的图象的所有点的纵坐标变为原来的

2

2

倍（横坐标不变），
即可得到函数y=sin2x的图象．
（2）在△ABC中，∵f（A）=

2

sin（2A+

π

4

）-1=0，
∴sin（2A+

π

4

）=

2

2

，0＜A＜π，
∴

π

4

＜2A+

π

4

＜

9π

4

，
∴2A+

π

4

=

3π

4

，
∴A=

π

4

；
又△ABC中，b=4，S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×4c×

2

2

=6，
∴c=3

2

，
∴a²=b²+c²-2bccosA=16+18-2×4×3

2

×

2

2

=10，
∴a=

10

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换，着重考查三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换及正弦定理与余弦定理的综合应用，属于中档题．