Question

设x，y为正实数，，，c=x+y．
（Ⅰ）如果p=1，则是否存在以a，b，c为三边长的三角形？请说明理由；
（Ⅱ）对任意的正实数x，y，试探索当存在以a，b，c为三边长的三角形时的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通过p=1利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，判断三角形的存在情况．
（Ⅱ）存在以a，b，c为三边长的三角形时，通过，利用换元法，构造法，利用基本不等式求出p的范围．
解答：解：（Ⅰ）存在．
当p=1时，，
显然成立，
且＜xy，易知a＜c，由上得，
故当p=1时，存在以a，b，c为三边长的三角形．
（Ⅱ）∵a＜c，∴若存在以a，b，c为三边长的三角形时，只需，
即
不等式①②两边都除以，令=t，得，这里f（t）=，
g（t）=，
由于f（t）=≥2+=2+，
当且仅当t=1时，f（t）取最小值2+，令m=，
则m≥2，g（t）==m-，
易知函数φ（m）=m-在[2，+∞）上单调递减，
故φ（m）_max=2-，即g（t）≤2-，当且仅当t=1时，g（t）取最大值2-；
因此p的取值范围为2-＜p＜2+．
即p的取值范围为2-＜p＜2+时，存在以a、b、c为三边长的三角形．
点评：本题考查三角形的形状的判断，基本不等式的应用，换元法的应用，函数的最值，考查分析问题解决问题，转化思想的应用．