Question

设x，y为正实数，a=

x2+xy+y2

，b=p

xy

，c=x+y．
（Ⅰ）如果p=1，则是否存在以a，b，c为三边长的三角形？请说明理由；
（Ⅱ）对任意的正实数x，y，试探索当存在以a，b，c为三边长的三角形时的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过p=1利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，判断三角形的存在情况．
（Ⅱ）存在以a，b，c为三边长的三角形时，通过

a+c＞b c-a＜b

，利用换元法，构造法，利用基本不等式求出p的范围．

解答：解：（Ⅰ）存在．
当p=1时，b=

xy

，
x+y+

x2+xy+y2

＞

xy

显然成立，
且x+y-

x2+xy+y2

=

xy

x+y+ x2+xy+y2

＜xy，易知a＜c，由上得

a+c＞b c-a＜b

，
故当p=1时，存在以a，b，c为三边长的三角形．
（Ⅱ）∵a＜c，∴若存在以a，b，c为三边长的三角形时，只需

a+c＞b c-a＜b

，
即

x+y+ x2+xy+y2 ＞p xy …① x+y- x2+xy+y2 ＜p xy …②

不等式①②两边都除以

xy

，令

x

y

=t，得

f(t)＞p g(t)＜p

，这里f（t）=

t

+

1

t

+

t+ 1 t +1

，
g（t）=

t

+

1

t

-

t+ 1 t +1

，
由于f（t）=

t

+

1

t

+

t+ 1 t +1

≥2+

2+1

=2+

3

，
当且仅当t=1时，f（t）取最小值2+

3

，令m=

t

+

1

t

，
则m≥2，g（t）=

t

+

1

t

-

t+ 1 t +1

=m-

m2-1

，
易知函数φ（m）=m-

m2-1

在[2，+∞）上单调递减，
故φ（m）_max=2-

3

，即g（t）≤2-

3

，当且仅当t=1时，g（t）取最大值2-

3

；
因此p的取值范围为2-

3

＜p＜2+

3

．
即p的取值范围为2-

3

＜p＜2+

3

时，存在以a、b、c为三边长的三角形．

点评：本题考查三角形的形状的判断，基本不等式的应用，换元法的应用，函数的最值，考查分析问题解决问题，转化思想的应用．