Question

4．为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）．
已知某种二元码x₁x₂…x₇的码元满足如下校验方程组：⊕$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{4}⊕{x}_{5}⊕{x}_{6}⊕{x}_{7}=0}\\{{x}_{2}⊕{x}_{3}⊕{x}_{6}⊕{x}_{7}=0}\\{{x}_{1}⊕{x}_{3}⊕{x}_{5}⊕{x}_{7}=0}\end{array}\right.$，其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于5．

Answer 1

分析 根据二元码x₁x₂…x₇的码元满足的方程组，及“⊕”的运算规则，将k的值从1至7逐个验证即可．

解答 解：依题意，二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，
①若k=1，则x₁=0，x₂=1，x₃=0，x₄=1，x₅=1，x₆=0，x₇=1，
从而由校验方程组，得x₄⊕x₅⊕x₆⊕x₇=1，故k≠1；
②若k=2，则x₁=1，x₂=0，x₃=0，x₄=1，x₅=1，x₆=0，x₇=1，
从而由校验方程组，得x₂⊕x₃⊕x₆⊕x₇=1，故k≠2；
③若k=3，则x₁=1，x₂=1，x₃=1，x₄=1，x₅=1，x₆=0，x₇=1，
从而由校验方程组，得x₂⊕x₃⊕x₆⊕x₇=1，故k≠3；
④若k=4，则x₁=1，x₂=1，x₃=0，x₄=0，x₅=1，x₆=0，x₇=1，
从而由校验方程组，得x₁⊕x₃⊕x₅⊕x₇=1，故k≠4；
⑤若k=5，则x₁=1，x₂=1，x₃=0，x₄=1，x₅=0，x₆=0，x₇=1，
从而由校验方程组，得x₄⊕x₅⊕x₆⊕x₇=0，x₂⊕x₃⊕x₆⊕x₇=0，x₁⊕x₃⊕x₅⊕x₇=0，
故k=5符合题意；
⑥若k=6，则x₁=1，x₂=1，x₃=0，x₄=1，x₅=1，x₆=1，x₇=1，
从而由校验方程组，得x₂⊕x₃⊕x₆⊕x₇=1，故k≠6；
⑦若k=7，则x₁=1，x₂=1，x₃=0，x₄=1，x₅=1，x₆=0，x₇=0，
从而由校验方程组，得x₂⊕x₃⊕x₆⊕x₇=1，故k≠7；
综上，k等于5．
故答案为：5．

点评 本题属新定义题，关键是弄懂新定义的含义或规则，事实上，本题中的运算符号“⊕”可看作是两个数差的绝对值运算，知道了这一点，验证就不是难事了．