Question

14．已知f（x）=|2x-3|+ax-6（a是常数，a∈R）
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（Ⅱ）如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时转化不等式f（x）≥0，去掉绝对值，然后求解不等式的解集即可；
（Ⅱ）函数y=f（x）恰有两个不同的零点，令f（x）=0，构造函数y=|2x-3|，y=-ax+6，利用函数的图象推出a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|2x-3|+x-6=$\left\{\begin{array}{l}{3x-9，x≥\frac{3}{2}}\\{-3-x，x＜\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴f（x）=|2x-3|+x-6≥0：化为$\left\{\begin{array}{l}{3x-9≥0}\\{x≥\frac{3}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-x-3≥0}\\{x＜\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得x≥3或x≤-3．
则解集为{x|x≥3或x≤-3}．
（Ⅱ）由f（x）=0得，|2x-3|=-ax+6．
令y=|2x-3|，y=-ax+6，作出它们的图象，
可以知道，当-2＜a＜2时，
这两个函数的图象有两个不同的交点，
所以，当-2＜a＜2时，函数y=f（x）有两个不同的零点．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，函数的零点的个数问题的解法，考查数形结合思想和计算能力，属于中档题．