Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（2x）=2f（x），且当x∈（1，2]时，f（x）=2-x，若x₁，x₂是方程f（x）=a（0＜a≤1）的两个实数根，则x₁-x₂不可能是（　　）

• A、30
• B、56
• C、80
• D、112

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据题中的条件得到函数的解析式为：所以f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]，b∈N^*．又将方程f（x）=a（0＜a≤1）的两个实数根，转化为函数y=f（x）图象和直线y=a的交点问题，再结合函数的图象根据题意求出答案即可．

解答： 解：因为对任意的x∈（0，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈（1，2]时，f（x）=2-x
所以f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]，b∈N^*．
由题意方程f（x）=a（0＜a≤1）的两个实数根，得函数y=f（x）图象和直线y=a的有两个交点，
分别画出它们的图象，如图所示，
所以可得函数y=f（x）图象和直线y=a的交点的横坐标之差可以是2，4，8，16，32，64，…
由于30=2+4+8+16；56=8+16+32；112=16+32+64．
则x₁-x₂不可能是80．
故选：C．

点评：解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学数学，是解决数学问题的必备的解题工具．