Question

【题目】已知.

（1）当时，求证： ；

（2）当时，试讨论方程的解的个数.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）时，方程一个解；当且时，方程两个解.

【解析】试题分析：（1）等价于，令，利用导数研究函数的单调性求出，即可得结论；（2）问题转化为函数的零点个数，通过两次求导，讨论三种情况，分别判断函数单调性及最值情况，从而可得方程解的个数.

试题解析：（1）要证，

只要证（*）

令，则，

而，所以在上单调递增，又，

所以在上单调递减，在上单调递增，

∴，即，（*）式成立

所以原不等式成立.

（2）问题转化为函数的零点个数.

而， .

令，解得.

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以，

设， ，

而，

则在上单调递减，在上单调递增，

所以，即（当即时取等）.

1°当时， ，则恒成立.

所以在上单调递增，又，则有一个零点；

2°当时， ， ，

有在上单调递减，在上单调递增，

且时，

则存在使得，又

这时在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增

所以，又时， ，

所以这时有两个零点；

3°当时， ， .

有在上单调递减，在上单调递增，

且时， ，

则存在使得.又，

这时在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增.

所以.又时， ， .

所以这时有两个零点；

综上： 时，原方程一个解；当且时，原方程两个解.