Question

20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB+$\sqrt{3}$acosB=$\sqrt{3}$c．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）函数f（x）=5cos²（ωx+$\frac{A}{2}$）-3（ω＞0），将y=f（x）图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的$\frac{3}{2}$
倍后便得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g（x）的最小正周期为π．当x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，求函数f（x）值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的式子，求出tanA，由内角的范围求出A；
（Ⅱ）根据二倍角的余弦公式变形化简解析式，由周期公式求出ω的值，由x的范围和余弦函数的性质求出求函数f（x）值域．

解答 解：（Ⅰ）∵$asinB+\sqrt{3}acosB=\sqrt{3}c$，
∴$sinAsinB+\sqrt{3}sinAcosB=\sqrt{3}sinC$…（2分）
∵C=π-（A+B），
∴$sinAsinB+\sqrt{3}sinAcosB=\sqrt{3}sin（A+B）$=$\sqrt{3}（sinAcosB+cosAsinB）$，
则$sinAsinB=\sqrt{3}cosAsinB$，
∵sinB≠0，∴$tanA=\sqrt{3}$，
由0＜A＜π得，$A=\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）$f（x）=5co{s}^{2}（ωx+\frac{π}{6}）-3$=$\frac{5}{2}[1+cos（2ωx+\frac{π}{3}）]-3$
=$\frac{5}{2}cos（2ωx+\frac{π}{3}）-\frac{1}{2}$，
∴$g（x）=\frac{5}{2}cos（\frac{4}{3}ωx+\frac{π}{3}）-\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2π}{\frac{4}{3}ω}=π$，解得$ω=\frac{3}{2}$，
即$f（x）=\frac{5}{2}cos（3x+\frac{π}{3}）-\frac{1}{2}$，…（9分）
由$x∈[0，\frac{π}{3}]$得，$\frac{π}{3}≤3x+\frac{π}{3}≤\frac{4}{3}π$，∴$-1≤cos（3x+\frac{π}{3}）≤\frac{1}{2}$，
即$-3≤f（x）≤\frac{3}{4}$，∴f（x）的值域为$[-3，\frac{3}{4}]$．…（12分）

点评 本题考查正弦定理，两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式变形，以及余弦函数的性质，属于中档题．