Question

18．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-3n，数列{b_n}满足${b_1}=1，{b_{n+1}}={b_n}+{（\frac{1}{2}）^n}（n∈{N^*}）$．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求{b_n}的通项公式；
（3）设c_n=$\frac{a_n}{{2-{b_n}}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过a_n=S_n-S_n-1计算可知a_n=2n-4（n≥2），进而可得结论；
（2）通过${b_1}=1，{b_{n+1}}={b_n}+{（\frac{1}{2}）^n}（n∈{N^*}）$可知b_n+1-b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$、${b}_{n}-{b}_{n-1}=\frac{1}{{2}^{n-1}}$、${b}_{n-1}-{b}_{n-2}=\frac{1}{{2}^{n-2}}$、…、${b}_{2}-{b}_{1}={b}_{2}-1=\frac{1}{2}$，累加计算即得结论；
（3）通过（1）、（2）可知c_n=（n-2）•2ⁿ，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵S_n=n²-3n，
∴a_n=S_n-S_n-1
=（n²-3n）-[（n-1）²-3（n-1）]
=2n-4（n≥2），
又∵a₁=1-3=-2满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n-4；
（2）∵${b_1}=1，{b_{n+1}}={b_n}+{（\frac{1}{2}）^n}（n∈{N^*}）$，
∴b_n+1-b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，${b}_{n}-{b}_{n-1}=\frac{1}{{2}^{n-1}}$，${b}_{n-1}-{b}_{n-2}=\frac{1}{{2}^{n-2}}$，…，${b}_{2}-{b}_{1}={b}_{2}-1=\frac{1}{2}$，
累加得：b_n-1=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴数列{b_n}的通项公式b_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$；
（3）由（1）、（2）可知c_n=$\frac{a_n}{{2-{b_n}}}$=$\frac{2n-4}{2-（2-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}$=（n-2）•2ⁿ，
∴T_n=-1•2+0•2²+1•2³+…+（n-2）•2ⁿ，
2T_n=-1•2²+0•2³+…+（n-3）•2ⁿ+（n-2）•2ⁿ⁺¹，
两式错位相减得：-T_n=-2+2²+2³+…+2ⁿ-（n-2）•2ⁿ⁺¹
=-2+$\frac{{2}^{2}（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（n-2）•2ⁿ⁺¹
=-2+2ⁿ⁺¹-4-（n-2）•2ⁿ⁺¹
=-6-（n-3）•2ⁿ⁺¹，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=6+（n-3）•2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．