Question

8．若函数f（x）=a^x-2xlna+2在[1，2]上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 由f（x）=a^x-2xlna+2在[1，2]上是增函数，可得f′（x）=a^xlna-2lna≥0在[1，2]上恒成立，分类讨论，即可求a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=a^x-2xlna+2在[1，2]上是增函数，
∴f′（x）=a^xlna-2lna≥0在[1，2]上恒成立，
a＞1，lna＞0，a^x≥2，∴a≥2；
0＜a＜1，lna＜0，a^x≤2，∴a≤$\sqrt{2}$，∴0＜a＜1；
a=1，f（x）=2，不符合题意．
综上，0＜a＜1或a≥2

点评 本题考查函数的单调性，考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．