Question

3．正项数列{a_n}的前n项和为s_n，且$2\sqrt{s_n}={a_n}+1$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}={a_n}•{2^{{a_n}+1}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）计算可知a_n-a_n-1=2（n≥2），进而可知数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，计算即得结论；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）知${b_n}={a_n}•{2^{{a_n}+1}}$=（2n-1）•4ⁿ，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）因为$2\sqrt{s_n}={a_n}+1$，
所以当n=1时$2\sqrt{s_1}={a_1}+1$，即a₁=1，
因为$2\sqrt{s_n}={a_n}+1$，
∴$4{s_n}={（{a_n}+1）^2}$，
∴当n≥2时，$4{a_n}={（{a_n}+1）^2}-{（{a_{n-1}}+1）^2}$，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
又∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2（n≥2），
故数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n-1，
∴${b_n}={a_n}•{2^{{a_n}+1}}$=（2n-1）•4ⁿ，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=1•4+3•4²+…+（2n-1）•4ⁿ，
$4{T_n}={4^2}+3•{4^3}+…+（2n-1）•{4^{n+1}}$，
两式相减得$-3{T_n}=4+2•（{4^2}+{4^3}+…+{4^n}）-（2n-1）•{4^{n+1}}$
=$4+2•\frac{{{4^2}（1-{4^{n-1}}）}}{1-4}-（2n-1）•{4^{n+1}}$
=$4+\frac{2}{3}•{4^{n+1}}-\frac{32}{3}-（2n-1）•{4^{n+1}}$
=$-\frac{20}{3}+（\frac{5}{3}-2n）•{4^{n+1}}$，
∴${T_n}=\frac{20}{9}+\frac{6n-5}{9}•{4^{n+1}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．