Question

11．在△ABC中，已知$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$
（1）若cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$求A的值；
（2）若$A=\frac{π}{3}，c=4$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，得sinBcosA=3sinAcosB，tanB=3tanA．
⇒tanA=1即可
 （2）由（1）知sinB•cosA=3sinA•cosB，得c²=2b²-2a²，又由余弦定理得b、c，即可求得面积．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，∴AB•ACcosA=3BA•BCcosB
即AC•cosA=3cosB•BC
由正弦定理得$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}$，∴sinBcosA=3sinAcosB
又∵0＜A+B＜π，∴cosA＞0，cosB＞0，∴$\frac{sinB}{cosB}=3×\frac{sinA}{cosA}$，⇒tanB=3tanA．
∵cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，0＜C＜π，∴$sinC=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，tanC=2．
∵tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanA•tanB}$
⇒$\frac{4tanA}{1-3ta{n}^{2}A}=-2$⇒tanA=1，或tanA=-$\frac{1}{3}$
∵tanB=3tanA，∴tanA＞0，∴$tanA=1，A=\frac{π}{4}$
（2）由（1）知sinB•cosA=3sinA•cosB，
⇒$b•\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=3a•\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
∴c²=2b²-2a²，
又由余弦定理得，${a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}-2bc•cos\frac{π}{3}$．∴b=6，
∴${s}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×6×4×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正、余弦定理的应用，三角恒等变形，考查了计算能力，属于中档题．