Question

1．对凯里一中高二（1）、高二（2）、高二（3）、高二（4）、高二（5）五个班级调查了解，统计出这五个班级课余参加书法兴趣小组并获校级奖的人数，得出如表：

班级	高二（1）	高二（2）	高二（3）	高二（4）	高二（5）
班级代号x	1	2	3	4	5
获奖人数y	5	4	2	3	1

从表中看出，班级代号x与获奖人数y线性相关．
（1）求y关于x的线性回归方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$；
（2）从以上班级随机选出两个班级，求至少有一个班级获奖人数超过3人的概率．
（附：参考公式：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$）．

Answer 1

分析 （1）通过线性回归方程，直接利用已知条件求出$\hat{a}$，$\hat{b}$，推出线性回归方程．
（2）记“从以上班级随机选出两个班级，求至少有一个班级获奖人数超过3人”为事件A，列出基本事件，利用古典概型求出概率即可．

解答 解：（1）由已知得n=5，$\overline x=\overline y=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$，
$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}=36}$，$n\overline x\overline y=45$，$\sum_{i=1}^5{x_i^2}=55$，$n{\overline x^2}=45$．
则$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{36-45}{55-45}=-\frac{9}{10}$．…（4分）
则$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x=\frac{57}{10}$．
故y关于x的线性回归方程$\widehaty=-\frac{11}{10}x+\frac{57}{10}$．…（6分）
（2）从以上班级随机选出两个班级，基本事件共有
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），
（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10个，
而获奖人数超过3人的有1班和2班，
则至少有一个班级获奖人数超过3人的基本事件为
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5）共7个，
由古典概型知至少有一个班级获奖人数超过3人的概率$p=\frac{7}{10}$．…（12分）

点评 本题考查线性回归方程的求法，古典概型的求解，考查分析问题解决问题的能力．