Question

【题目】已知函数，.

(I)若函数在区间上均单调且单调性相反,求的取值范围；

(Ⅱ)若,证明:

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.

【解析】分析：(I)先通过分析得到函数在上单调递增，在上单调递减.再得到

在上恒成立，再分离参数得到,再求函数的最大值，即可求得的取值范围. (Ⅱ)先利用函数在上单调递增得到，再证明.再利用在上单调递减，，再证明.

详解：

（Ⅰ），

令

,由已知函数在上单调得:在上单调递增，

，而，

所以得

所以在上单调递减.

所以 在上恒成立，

即,

令

所以在上单调递增，,

所以即上单调递增，

（Ⅱ）在（Ⅰ）中，令在上单调递增，

，即，

令,得，

在(I)中，令,

由在上均单调递减得:

所以即

取得，，

即，由得：

综上:

点睛:本题难在第(Ⅱ)问，它主要是利用了第(I)的结论. 先利用函数在上单调递增得到，再给x赋值证明.再利用在上单调递减，，再给x赋值证明.处理数学问题时，经常要注意利用联系的观点处理问题，学会利用前面的结论处理后面的问题.