Question

【题目】已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，过左焦点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）若圆上一点处的切线交椭圆于两不同点，求弦长的最大值.

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】

（Ⅰ）根据通径和离心率及椭圆中的关系，可求得椭圆的标准方程。

（Ⅱ）讨论当斜率是否存在。当斜率不存在时，易得切线方程和切点坐标，进而得到的值。当斜率存在时，设出直线方程，根据直线与圆相切，得到；联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式表示出，再用换元法及函数单调性判断的最值。

（Ⅰ）由已知，设椭圆的方程为，

因为，不妨设点，代入椭圆方程得，，

又因为， 所以，，所以，，

所以的方程为.

（Ⅱ）依题意，圆上的切点不能为，

①当直线的斜率不存在时，其方程为，此时两点的坐标为，所以.

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由直线与圆相切，得，

即，设，

联立得，，，

所以

所以，令，则，，

，越大，越大，所以，即.

综合①②知，弦长的最大值为.