Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），|

a

-

b

|=

10

5

（1）求cos（α-β）的值；
（2）若0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，且sinβ=-

5

13

，求sinα的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,向量的模

专题：三角函数的求值

分析：（1）通过向量差的模，利用两角和与差的三角函数直接求cos（α-β）的值；
（2）通过0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，判断α-β的范围，求出sin（α-β）的值以及sinβ=-

5

13

求出cosβ的值，然后求sinα的值．

解答： 解：（1）向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），|

a

-

b

|=

10

5

∴

(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2

=

10

5

．

2-2cos(α-β)

=

10

5

，
∴cos（α-β）=

4

5

．
（2）-

π

2

＜β＜0，且sinβ=-

5

13

，cosβ=

1-sin2β

=

12

13

，
∵0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，∴α-β∈（0，π），
sin（α-β）=

1-cos2(α-β)

=

3

5

．
sinα=sin（α-β+β）=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ=

3

5

×(-

5

13

)+

4

5

×

12

13

=

33

65

．

点评：本题考查了向量的数量积运算性质和模的计算公式，考查两角和与差的三角函数以及同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，注意角的变换技巧．