题目内容
【题目】已知函数
.
（1）若函数
有两个零点，求a的取值范围；
（2）设函数的两个零点为
，求证：
.
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【解析】
（1）函数
有两个零点，等价于函数
的图象与直线
有两个交点，求
，判断
的单调性，从而求出a的取值范围；
（2）不妨设
，由题意
，可得
，两式相减，可得
，两式相加可得
.问题转化为求函数
的单调性，根据当
时，
，得到
，从而证明结论.
（1）函数的定义域为
，函数有两个零点，即方程
有两个根，
令，则函数
的图象与直线有两个交点.
，令
.
当
时，
；当
时，
，
函数在
单调递增，在
单调递减，
，
且当
时，
；当
时，
；当时，
.
函数的图象与直线有两个交点时，
，
即函数有两个零点时，a的取值范围为.
（2）证明：不妨设
.
由题意可得
.
两式相减可得，两式相加可得.
.
令
，则
，
函数
在
上单调递增，
，
.
.
又
，
，即
，
.
练习册系列答案
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车型进行产品更新换代.为了了解这种车型的外观设计是否需要改进，该集团委托某调查机构对大众做问卷调查，并从参与调查的人群中抽取了
人进行抽样分析，得到如下表格：（单位：人）
喜欢 | 不喜欢 | 合计 | |
青年人 |
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中年人 |
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合计 |
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（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为大众对型车外观设计的喜欢与年龄有关？
（2）现从所抽取的中年人中按是否喜欢型车外观设计利用分层抽样的方法抽取
人，再从这人中随机选出
人赠送五折优惠券，求选出的人中至少有
人喜欢该集团型车外观设计的概率；
（3）将频率视为概率，从所有参与调查的人群中随机抽取
人赠送礼品，记其中喜欢型车外观设计的人数为
，求的数学期望和方差.
参考公式：
，其中
.
参考数据：
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