题目内容
【题目】若无穷数列
满足：
，且对任意的
，
（
，
，
，
）都有
，则称数列为“G”数列.
（1）已知等比数列的通项为
，证明：是“G”数列；
（2）记数列的前n项和为
且有
，若对每一个
取
，中的较小者组成新的数列
，若数列
为“G”数列，求实数
的取值范围？
（3）若数列
是“G”数列，且数列的前n项之积
满足
，求证：数列是等比数列.
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）见解析.
【解析】
（1）由数列
为等比数列，根据其性质即可得证；
（2）由
，可得
，在根据其为“
”数列，得出实数
的取值范围即可；
（3）利用
是“”数列可以得出
，在利用比值的形式即可求证.
（1）因为等比数列通项为
，
当
，
时，
，
所以是“ “数列．
（2）因为，所以，
因为无穷数列满足：
，可知
；
所以
，
，
又
，
从而
，
考察到数列从第二项起为等比数列，则同第（1）问，
有当
，
，
，
，
恒有
，
那么当
时，由数列
为“ “数列
可知对任意的
，
，，，恒有
，
即有
，等价于
，恒成立，
由
，知；
综上：．
（3）若数列是“”数列，则
，
①当
时，
；
；
；
；
叠乘即可得出
，即
；
②当
时；
；
；
；
；
；即
；
即
；
综上所述：对任意的
，均有
；
，
；①
②；
由
可得：
，即
③；
④；
由③
④可得：
；
；
数列是等比数列；
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