Question

定义：点M（a，b）的“相关函数”为f（x）=asinx+bcosx（x∈R），点M（a，b）称为函数f（x）=asinx+bcosx（x∈R）的“相关点”．
（I）设函数h（x）=

2

×（

1

3

）^mcos（x-

π

4

）-2sin（x+

π

6

）的“相关点”为N，若N∈{（a，b）|a＜0，b＞0，a∈R，b∈R}，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）已知点M（a，b）满足：

b

a

∈（1，

2

]，点M（a，b）的“相关函数”f（x）在x=x₀处取得最大值，求tan2x₀的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：新定义,函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：（1）先求函数的解析式，根据已知a＜0，b＞0，即可求得实数m的取值范围；
（2）根据已知先求tanx₀的值，tan2x₀的值，设

b

a

=t，由反比例函数单调性即可根据

b

a

∈（1，

2

]求tan2x₀的取值范围．

解答： 解：（1）∵h(x)=

2

×(

1

3

)mcos(x-

π

4

)-2sin(x+

π

6

)
=(

1

3

)m(cosx+sinx)-(

3

sinx+cosx)
=[(

1

3

)m-

3

]sinx+[(

1

3

)m-1]cosx-------------------（3分）
∴

( 1 3 )m- 3 ＜0 ( 1 3 )m-1＞0

∴-

1

2

＜m＜0-------------------------------（5分）
（Ⅱ）点M（a，b）“相关函数”f(x)=asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+ϕ)，cosϕ=

a

a2+b2

，sinϕ=

b

a2+b2

当x+ϕ=2kπ+

π

2

，k∈Z，x0=2kπ+

π

2

-ϕ，k∈Z时，f（x）取最大值
∴tanx0=tan(2kπ+

π

2

-ϕ)=

sin( π 2 -ϕ)

cos( π 2 -ϕ)

=

cosϕ

sinϕ

=

a

b

------------------------（8分）
∴tan2x0=

2tanx0

1-tan2x0

=

2× a b

1-( a b )2

=

2

b a - a b

---------------------------------------（10分）
设

b

a

=t，∴t∈(1，

2

]，由反比例函数单调性知，-

1

t

随t的增大而增大，所以t-

1

t

随t的增大而增大，
（或者用单调性定义判断函数y=t-

1

t

(t∈(1，

2

])的单调性）
所以t-

1

t

∈(0，

2

2

]，∴tan2x0=

2

t- 1 t

∈[2

2

，+∞)----------------------------（12分）

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，函数的性质及应用，属于基本知识的考查．