Question

平面直角坐标系中，已知A（4，3），试在x轴上求一点P，使

OP

AP

的值最大．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：设出P的坐标，利用距离公式表示所求表达式，利用二次函数的最值求解最值即可．

解答： 解：由题意设P（x，0）．如图，显然x＞0，

OP

AP

的值大于x＜0时的值．

OP

AP

=

x2 (x-4)2+32

=

x2 x2-8x+25

=

1 1- 8 x + 25 x2

，
当1-

8

x

+

25

x2

取得最小值时

OP

AP

取得最大值．
当

1

x

=

8

2×25

=

4

25

，即x=

25

4

时，1-

8

x

+

25

x2

取得最小值：

9

25

，

OP

AP

的最大值为：

1 9 25

=

5

3

．
此时P（

25

4

，0）．

点评：本题考查函数与方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力．