Question

15．已知函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1-x}{1+x}$）
（Ⅰ）求f（x）的定义域，并判断f（x）的单调性
（Ⅱ）证明：f（x）在其定义域上是奇函数
（Ⅲ）解关于a的不等式：f（a-1）+f（2a-1）≤0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对于函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1-x}{1+x}$），有$\frac{1-x}{1+x}$＞0，解可得x的取值范围，即可得函数f（x）的定义域，利用复合函数的单调性的判定方法可得该函数为增函数；
（Ⅱ）先分析函数f（x）的定义域是否关于原点对称，再计算f（-x）的解析式，分析可得f（-x）=-f（x），即可得证明；
（Ⅲ）由函数的定义域、奇偶性、单调性分析可得f（a-1）+f（2a-1）≤0⇒f（a-1）≤-f（2a-1）⇒f（a-1）≤f（1-2a）⇒$\left\{\begin{array}{l}{-1＜a-1＜1}\\{-1＜1-2a＜1}\\{a-1≤1-2a}\end{array}\right.$，解可得a的范围，解可得答案．

解答 解：（Ⅰ）对于函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1-x}{1+x}$），
有$\frac{1-x}{1+x}$＞0，
解可得-1＜x＜1，即函数f（x）的定义域为（-1，1）；
令t=$\frac{1-x}{1+x}$=$\frac{2}{x+1}$-1，在（-1，1）上为减函数，
而y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$t为减函数，
则函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1-x}{1+x}$）为增函数；
（Ⅱ）证明：对于函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1-x}{1+x}$），
其定义域为（-1，1），关于原点对称，
且f（-x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1+x}{1-x}$），
有f（x）+f（-x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1-x}{1+x}$）+log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1+x}{1-x}$）=0，
即f（-x）=-f（x），
则函数f（x）为奇函数；
（3）函数f（x）在（-1，1）为奇函数且单调递增，
f（a-1）+f（2a-1）≤0⇒f（a-1）≤-f（2a-1）⇒f（a-1）≤f（1-2a）⇒$\left\{\begin{array}{l}{-1＜a-1＜1}\\{-1＜1-2a＜1}\\{a-1≤1-2a}\end{array}\right.$，
解可得$\frac{2}{3}$≤a＜1，
则不等式f（a-1）+f（2a-1）≤0的解集为[$\frac{2}{3}$，1）．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性的判定、应用，关键是掌握函数奇偶性、单调性的判定方法．