Question

【题目】已知二次函数的对称轴为，.

（1）求函数的最小值及取得最小值时的值；

（2）试确定的取值范围，使至少有一个实根；

（3）当时，，对任意有恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），此时；（2）的取值范围为；（3）实数的取值范围为.

【解析】

试题分析：（1）利用基本不等式易得，此时.（2）至少有一个实根，即与的图象在上至少有一个交点，由题意，可得，，则需即可；（3）由题意，可得，对任意有恒成立，即，令，，∴，∴，

令，讨论函数的单调性，即可得到实数的取值范围.

试题解析：（1）∵，∴，

∴，当且仅当，即时“=”成立，即，此时.

（2）的对称轴为，∴，∴，

至少有一个实根，∴至少有一个实根，

即与的图象在上至少有一个交点，

，∴，，

∴，∴，∴的取值范围为.

（3）∵，∴，

∴对任意有恒成立，∴，

令，，∴，∴，

令，设为上任意两不等实数，且，

∴，

∵，∴，，∴，

∴在上单调递增，

∴，∴.

∴实数的取值范围为.