Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）函数的图象与的图象无公共点，求实数的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出整数的最大值；若不存在，请说理由.

（参考数据：，,）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）1

【解析】

试题分析：（Ⅰ）函数图象无公共点，可以转化为方程无实根，此方程可用分离参数法化为无实根，从而只要求出函数的值域即可，这可导数的知识求得；（Ⅱ）同样问题转化为“不等式对恒成立”，即对恒成立，因此问题转化为

求函数的最小值．

试题解析：（Ⅰ）函数与无公共点，

等价于方程在无解

令，则令得

	＋	0	－
	增	极大值	减

因为是唯一的极大值点，故

故要使方程在无解，

当且仅当，故实数的取值范围为

（Ⅱ）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立.

即对恒成立.

令，则，

令，则，

∵在上单调递增，，，

且的图象在上连续，

∴存在，使得，即，则，

∴ 当时，单调递减；

当时，单调递增，

则取到最小值，

∴ ，即在区间内单调递增.

，

∴存在实数满足题意，且最大整数的值为.