Question

已知向量

m

=(sinωx+cosωx，

3

cosωx)，

n

=(cosωx-sinωx，2sinωx)（其中ω＞0），函数f（x）=

m

•

n

，若f（x）相邻两对称轴间的距离为

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值
（Ⅱ）求f（x）的最大值及相应的x的集合．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据二倍角公式和和差角公式（辅助角公式），化简函数解析式为正弦型函数的形式，进而结合f（x）相邻两对称轴间的距离为

π

2

，可得f（x）的最小正周期，求出ω的值；
（2）由正弦函数的图象和性质即可得到f（x）的最大值及相应的x的集合．

解答： 解：（1）∵f（x）=cos2ωx-sin2ωx+2

3

sinωxcosωx=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin（2ωx+

π

6

）…（3分）
由题意得T=π，
又∵ω＞0，
∴ω=1，
（2）f（x）=2sin（2x+

π

6

）…（4分）
由2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：x=kπ+

π

6

，k∈Z
∴当x=kπ+

π

6

，k∈Z时，f（x）有最大值为2；…（6分）

点评：本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，平面向量数量积的运算，余弦定理，三角形面积公式，是三角函数与向量的综合应用，属于基本知识的考查．