题目内容
已知数列{an}是首项为a1=
，公比q=
的等比数列，设bn+2=3log
an（∈N*），数列{cn}满足cn=an•bn．
（1）求证：{bn}是等差数列；
（2）求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）（理科）求数列{cn}的前n项和Tn．
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
（1）求证：{bn}是等差数列；
（2）求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）（理科）求数列{cn}的前n项和Tn．
考点：数列的求和
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）由已知得an=
，从而bn=3n-2，由此能证明{bn}是首项为1，公差为3的等差数列．
（2）由{bn}是首项为1，公差为3的等差数列，能求出数列{bn}的前n项和Sn．
（3）由cn=an•bn=（3n-2）•
，利用错位相减法能求出数列{cn}的前n项和Tn．
| 1 |
| 4n |
（2）由{bn}是首项为1，公差为3的等差数列，能求出数列{bn}的前n项和Sn．
（3）由cn=an•bn=（3n-2）•
| 1 |
| 4n |
解答：
（1）证明：∵数列{an}是首项为a1=
，公比q=
的等比数列，
∴an=
，
∴bn+2=3log
an=3log
=3n，
∴bn=3n-2，
∴bn-bn-1=（3n-2）-[3（n-1）-2]=3，b1=3-2=1，
∴{bn}是首项为1，公差为3的等差数列．
（2）解：由（1）得Sn=n+
×3=
n2-
n．
（3）解：∵cn=an•bn=（3n-2）•
，
∴Tn=
+
+
+…+
，①
∴
Tn=
+
+
+…+
，②
①-②，得
Tn=
+
+
+…+
-
=
+
-
=
-
，
∴Tn=
-
．
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
∴an=
| 1 |
| 4n |
∴bn+2=3log
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4n |
∴bn=3n-2，
∴bn-bn-1=（3n-2）-[3（n-1）-2]=3，b1=3-2=1，
∴{bn}是首项为1，公差为3的等差数列．
（2）解：由（1）得Sn=n+
| n(n-1) |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（3）解：∵cn=an•bn=（3n-2）•
| 1 |
| 4n |
∴Tn=
| 1 |
| 4 |
| 4 |
| 42 |
| 7 |
| 43 |
| 3n-2 |
| 4n |
∴
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 42 |
| 4 |
| 43 |
| 7 |
| 44 |
| 3n-2 |
| 4n+1 |
①-②，得
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 42 |
| 3 |
| 43 |
| 3 |
| 4n |
| 3n-2 |
| 4n+1 |
=
| 1 |
| 4 |
| ||||
1-
|
| 3n-2 |
| 4n+1 |
=
| 1 |
| 2 |
| 3n+2 |
| 4n+1 |
∴Tn=
| 2 |
| 3 |
| 3n+2 |
| 3×4n |
点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．
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