题目内容

（1）如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若 $数学公式$ ， $数学公式$ ，试用 $数学公式$ ， $数学公式$ 表示 $数学公式$ ， $数学公式$ ，并判断 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的关系；
（2）受（1）的启示，如果点A₁，A₂，A₃，…，A_n-1是AB的n（n≥3）等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．

解：（1）如图：点P、Q是线段AB的三等分点 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ，同理 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$
即： $\text{[math]}$ ，
（2）设A₁，A₂．，…，A_n-1是AB的n等分点，
则 $\text{[math]}$ ；
证：A₁，A₂，，A_n-1是线段n≥2的 $\text{[math]}$ 等分点，
先证明： $\text{[math]}$ （1≤k≤n-1，n、k∈N⁺）．
由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
因为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是相反向量，
则 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ．
记 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$
相加得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由三角形法则及向量共线的数乘表示，分别用向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 表示出 $\text{[math]}$ ，相加即得用向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 的表达式，进而判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系；
（2）受（1）的启示，如果点A₁，A₂，A₃，…，A_n-1是AB的n（n≥3）等分点，归纳得出猜想 $\text{[math]}$ ，再数学归纳法证明结论．
点评：本小题主要考查平行向量与共线向量、归纳推理、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．