Question

（1）如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若，，试用，表示，，并判断与的关系；
（2）受（1）的启示，如果点A₁，A₂，A₃，…，A_n-1是AB的n（n≥3）等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）由三角形法则及向量共线的数乘表示，分别用向量 、表示出 ，相加即得用向量 、表示 的表达式，进而判断与的关系；
（2）受（1）的启示，如果点A₁，A₂，A₃，…，A_n-1是AB的n（n≥3）等分点，归纳得出猜想 ，再数学归纳法证明结论．
解答：解：（1）如图：点P、Q是线段AB的三等分点 =，
则 ，同理 ，（2分）
所以 （4分）
即：，
（2）设A₁，A₂．，…，A_n-1是AB的n等分点，
则 ；
证：A₁，A₂，，A_n-1是线段n≥2的 等分点，
先证明：（1≤k≤n-1，n、k∈N^*）．
由 ，，
因为 和 是相反向量，
则 ，
所以 ．
记 ，

相加得
∴．
点评：本小题主要考查平行向量与共线向量、归纳推理、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．