题目内容
（1）如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若| OA |
| OB |
| OP |
| OQ |
（2）在（1）中，当点P，Q三等分线段AB中，有
| OP |
| OQ |
| OA |
| OB |
（3）条件同（1）（2），试用试用a，b表示向量
| OAk |
分析：（1）由题意知，
=
-
，
+
=
，从而得到
=
-
，同理求
．
（2）先写出结论，在进行证明，数形结合再利用向量加法的法则和几何意义知，
=
-
=
-
（
-
），
化简
+
+…+
的解析式，利用等差数列求和公式得到它的结果．
（3）由（2）的证明过程知，
=
-
（
-
）．
| BA |
| a |
| b |
| OP |
| PA |
| OA |
| OP |
| OA |
| PA |
| OQ |
（2）先写出结论，在进行证明，数形结合再利用向量加法的法则和几何意义知，
| OAk |
| OA |
| AkA |
| a |
| k |
| n |
| a |
| b |
化简
| OA1 |
| OA2 |
| OAn-1 |
（3）由（2）的证明过程知，
| OAk |
| a |
| k |
| n |
| a |
| b |
解答：解：（1）由题意知，
=
-
，
+
=
，
∴
=
-
=
-
•（
）=
-
（
-
）=
•
+
•
．
=
-
=
-
（
-
）=
+
．
（2）能得到的结论是：
+
+…+
═
+
．
证明：
∵
=
-
=
-
（
-
）=
+
，
=
-
=
-
（
-
）=
+
，
…
=
-
=
-
（
-
）=
+
，
∴
+
+…+
=（
+
+…+
）
+（
+
+…+
）
=
+
．
（3）
=
-
=
-
（
-
）=
+
．
| BA |
| a |
| b |
| OP |
| PA |
| OA |
∴
| OP |
| OA |
| PA |
| a |
| 1 |
| 3 |
| BA |
| a |
| 1 |
| 3 |
| a |
| b |
| 2 |
| 3 |
| a |
| 1 |
| 3 |
| b |
| OQ |
| OA |
| 2 |
| 3 |
| BA |
| a |
| 2 |
| 3 |
| a |
| b |
| 1 |
| 3 |
| a |
| 2 |
| 3 |
| b |
（2）能得到的结论是：
| OA1 |
| OA2 |
| OAn-1 |
| n-1 |
| 2 |
| a |
| n-1 |
| 2 |
| b |
证明：
∵
| OA1 |
| OA |
| A1A |
| a |
| 1 |
| n |
| a |
| b |
| n-1 |
| n |
| a |
| 1 |
| n |
| b |
| OA2 |
| OA |
| A2A |
| a |
| 2 |
| n |
| a |
| b |
| n-2 |
| n |
| a |
| 2 |
| n |
| b |
…
| OAn-1 |
| OA |
| An-1A |
| a |
| n-1 |
| n |
| a |
| b |
| 1 |
| n |
| a |
| n-1 |
| n |
| b |
∴
| OA1 |
| OA2 |
| OAn-1 |
| n-1 |
| n |
| n-2 |
| n |
| 1 |
| n |
| a |
| n-1 |
| n |
| n-2 |
| n |
| 1 |
| n |
| b |
=
| n-1 |
| 2 |
| a |
| n-1 |
| 2 |
| b |
（3）
| OAk |
| OA |
| AkA |
| a |
| k |
| n |
| a |
| b |
| n-k |
| n |
| a |
| k |
| n |
| b |
点评：本题考查向量加法、减法的运算法则和几何意义，并且运用等差数列求和公式进行计算化简以及进行合情推理．
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，
，试用
，
表示
，
，并判断
与
的关系；
，
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，并判断
与
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