题目内容
（1）如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若| OA |
| a |
| OB |
| b |
| a |
| b |
| OP |
| OQ |
| OP |
| OQ |
| OA |
| OB |
（2）受（1）的启示，如果点A1，A2，A3，…，An-1是AB的n（n≥3）等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．
分析：（1）由三角形法则及向量共线的数乘表示，分别用向量
、
表示出
，
，相加即得用向量
、
表示
+
的表达式，进而判断
+
与
+
的关系；
（2）受（1）的启示，如果点A1，A2，A3，…，An-1是AB的n（n≥3）等分点，归纳得出猜想
+
+…+
=
(
+
)，再数学归纳法证明结论．
| a |
| b |
| OP |
| OQ |
| a |
| b |
| OP |
| OQ |
| OP |
| OQ |
| OA |
| OB |
（2）受（1）的启示，如果点A1，A2，A3，…，An-1是AB的n（n≥3）等分点，归纳得出猜想
| OA1 |
| OA2 |
| OAn-1 |
| n-1 |
| 2 |
| a |
| b |
解答：
解：（1）如图：点P、Q是线段AB的三等分点
=
+
=
+
(
-
)，
则
=
+
，同理
=
+
，（2分）
所以
+
=
+
（4分）
即：
=
+
，
=
+
，
+
=
+
，
（2）设A1，A2．，…，An-1是AB的n等分点，
则
+
+…+
=
(
+
)；
证：A1，A2，，An-1是线段n≥2的 Sn-1=
+
an-1+
等分点，
先证明：
+
=
+
（1≤k≤n-1，n、k∈N*）．
由
=
+
，
=
+
，
因为
和
是相反向量，
则
+
=0，
所以
+
=
+
．
记 S=
+
+
+…+
+
，
S=
+
+…+
+
相加得 2S=(
+
)+(
+
)+…+(
+
)=(n-1)(
+
)
∴
+
+…+
=
(
+
)．
解：（1）如图：点P、Q是线段AB的三等分点 | OP |
| OA |
| AP |
| OA |
| 1 |
| 3 |
| OB |
| OA |
则
| OP |
| 2 |
| 3 |
| a |
| 1 |
| 3 |
| b |
| OQ |
| 1 |
| 3 |
| a |
| 2 |
| 3 |
| b |
所以
| OP |
| OQ |
| a |
| b |
即：
| OP |
| 2 |
| 3 |
| a |
| 1 |
| 3 |
| b |
| OQ |
| 1 |
| 3 |
| a |
| 2 |
| 3 |
| b |
| OP |
| OQ |
| OA |
| OQ |
（2）设A1，A2．，…，An-1是AB的n等分点，
则
| OA1 |
| OA2 |
| OAn-1 |
| n-1 |
| 2 |
| a |
| b |
证：A1，A2，，An-1是线段n≥2的 Sn-1=
| 1 |
| 4 |
| a | 2 n |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
先证明：
| OAk |
| OAn-k |
| OA |
| OB |
由
| OAk |
| OA |
| AAk |
| OAn-k |
| OB |
| BAn-k |
因为
| AAk |
| BAn-k |
则
| AAk |
| BAn-k |
所以
| OAk |
| OAn-k |
| OA |
| OB |
记 S=
| OA1 |
| OA2 |
| OA3 |
| OAn-2 |
| OAn-1 |
S=
| OAn-1 |
| OAn-2 |
| OA2 |
| OA1 |
相加得 2S=(
| OA1 |
| OAn-1 |
| OA2 |
| OAn-2 |
| OAn-1 |
| OA1 |
| OA |
| OB |
∴
| OA1 |
| OA2 |
| OAn-1 |
| n-1 |
| 2 |
| a |
| b |
点评：本小题主要考查平行向量与共线向量、归纳推理、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．
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，
，试用
，
表示
，
，并判断
与
的关系；
，
，试用
，
表示
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，并判断
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的关系；