Question

【题目】如图，在多边形中（图1）．四边形为长方形，为正三角形，，，现以为折痕将折起，使点在平面内的射影恰好是的中点（图2）．

（1）证明：平面：

（2）若点在线段上，且，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）过点作，垂足为，由于点在平面内的射影恰好是中点，可得平面，进一步得到，又因为，，则平面；

（2）取的中点，以为坐标原点，以，，分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，代入夹角公式可求出结果．

（1）作的中点，连接，由题知平面．

因为，所以，

又因为，

所以平面．

（2）取的中点，连接，则，，，以为坐标原点，以，，分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系．

则，，

，，

，

设平面的一个法向量为

则有，令，所以

易知平面的一个法向量为

所以，

所以二面角的余弦值为．