Question

【题目】如图，已知抛物线焦点为，过上一点作切线，交轴于点，过点作直线交于点.

（1）证明：；

（2）设直线，的斜率为，的面积为，若，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）设过点与相切的切线，与抛物线联立，利用可得，进而可得点坐标，再设直线，与抛物线联立，利用韦达定理可得答案；

（2）利用（1）的结果可得，代入，可得与的关系，再利用弦长公式和点到直线的距离公式求出和点到的距离，则可表示出，利用换元法和求导求其最小值.

（1）设过点与相切的切线，

联立，消去得，

由，

则，则，

因为直线的斜率不为0，

设直线，联立方程得，

故；

（2）由（1）得，则

整理得，即，

当时，点在轴上方，必有，与矛盾

所以必有，则，

则

故，

则，

点到的距离，

，

，令，

则，

令，则

则对于函数，

则，

则函数在上单调递增，在上单调递减，

，

，

，

故的最小值为.