题目内容
【题目】已知曲线
上的点到
的距离比它到直线
的距离少3.
（1）求曲线的方程；
（2）过点
且斜率为
的直线
交曲线于
，
两点，交圆
于
，
两点，，在
轴上方，过点，分别作曲线的切线
，
，
，求
与
的面积的积的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）利用抛物线的定义即可求解；
（2）设出
方程，
，
点到坐标，与
联立，根据韦达定理求出
和
，再利用导数及点斜式方程，求出
，
的方程，联立求出
点坐标，借助点到直线距离、抛物线定义及三角形面积的求法，即可得解.
（1）因为曲线
上的点到
的距离比它到直线
的距离少3，
所以曲线上的点到的距离和它到直线
的距离相等，
故曲线是为焦点，为准线的抛物线，
故.
（2）由题设知：
，则
，
设
，
，
在
轴上方，
，
，
，
，
与联立，得
，
则
，
，
由，得
时，
，则
；
时，
，则
，
，
，
故
，
，
，联立消
，得
，解得
，
将
代入，方程，
，
，
两式相加得
，解得
，
，
到
的距离
，
，
，
，
与
的面积的积的取值范围是.
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