Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设为曲线上位于第一，二象限的两个动点，且，射线交曲线分别于，求面积的最小值，并求此时四边形的面积.

Answer 1

【答案】（1）；（2）面积的最小值为；四边形的面积为

【解析】

（1）将曲线消去参数即可得到的普通方程，将，代入曲线的极坐标方程即可；

（2）由（1）得曲线的极坐标方程，设，，，

利用方程可得，再利用基本不等式得，即可得，根据题意知，进而可得四边形的面积.

（1）由曲线的参数方程为（为参数）消去参数得

曲线的极坐标方程为，即，

所以，曲线的直角坐标方程.

（2）依题意得的极坐标方程为

设，，，

则，，故

，当且仅当（即）时取“=”，

故，即面积的最小值为.

此时，

故所求四边形的面积为.