Question

【题目】若函数f(x)＝ax2＋bx－ln x的导函数的零点分别为1和2．

（I） 求a ， b的值；

（Ⅱ）若当时，恒成立， 求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（I）求出函数的导数，由，求出的值即可；（Ⅱ）当时，恒成立，等价于，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求出函数的最小值，从而求出的取值范围即可.

（I） 函数的定义域是，

∵函数的零点分别为1和2，

∴， 得， b = 2，

（Ⅱ）当时，恒成立，当且仅当，

由（I）得，．

．

由f′(x)＝0，得x＝1或x＝2．

①当f′(x)＞0时1＜x＜2；

②当f′(x)＜0时0＜x＜1或x＞2．

当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x	(0，1)	1	(1，2)	2
f′(x)	－	0	＋	0	－
f(x)	↘		↗		↘

因此，f(x)的区间的最小值是和的较小者，

∵，∴，

∴f（x）的区间的最小值是，

∴实数的取值范围是.