Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线y=x交抛物线y=-x²+bx+c对称轴右侧的抛物线于点P，连接PA、PC，设△AOP的面积为S₁，△COP的面积为S₂．
（1）①若A、C两点坐标分别为（2，0），（0，3），求抛物线y=-x²+bx+c的解析式；
②试判断S₁与S₂之间的关系，并说明理由；
（2）将（1）中的抛物线沿x轴正方向平移，在平移过程中，是否存在点P，使S₁=2S₂，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）①若A、C两点坐标分别为（2，0），（0，3），代入可构造关于b，c的方程，进而可得抛物线y=-x²+bx+c的解析式；
②根据①中A，C两点坐标，求出P点坐标，求出S₁与S₂，进而可得S₁与S₂之间的关系．
（2）假定将（1）中的抛物线沿x轴正方向平移，在平移过程中，是否存在点P，使S₁=2S₂，利用反证法，可得答案．

解答： 解：（1）①若A、C两点坐标分别为（2，0），（0，3），
则

-4+2b+c=0 c=3

，
解得：

b= 1 2 c=3

，
∴抛物线y=-x²+

1

2

x+3；
②令-x²+

1

2

x+3=x，
解得：x=

3

2

，或x=-2（舍去）
则S₁=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

，
S₂=

1

2

×3×

3

2

=

9

4

；
显然

3

2

S₁=S₂．
（2）将（1）中的抛物线沿x轴正方向平移，在平移过程中，是否存在点P，使S₁=2S₂，
假舍满足条件的P点坐标为（x，x），x＞0，
则S₁=

1

2

×2×x=x，
S₂=

1

2

×3×x=

3

2

x；
若S₁=2S₂，则x=3x，
解得x=0（舍去），
故不存在满足条件的P点．

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，难度不大，属于基础题．