Question

6．在直角坐标系xOy中，$\overrightarrow{i，}\;\overrightarrow j$分别是与x轴，y轴同向的单位向量，若直角三角形ABC中，$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow i+\overrightarrow j$，$\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow i+k\overrightarrow j$，则k的可能值有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 由向量的运算可得$\overrightarrow{BC}$，分三种情况∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°利用向量的数量积等于零，建立关系式，再解方程求得所有可能k的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow i+\overrightarrow j$，$\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow i+k\overrightarrow j$，
∴$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{i}$+（k-1）$\overrightarrow{j}$
∵△ABC为直角三角形，
（1）当∠A=90°时，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=6+k=0，解得k=-6；
（2）当∠B=90°时，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=2+k-1=0，解得k=-1；
（3）当∠C=90°时，$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AC}$=3+k（k-1）=0，方程无实解；
综上所述，k=-6或-1
故选：C．

点评 本题考查向量坐标的定义、考查向量的运算法则、考查向量垂直的充要条件，分类讨论是解决问题的关键，属基础题．