Question

8．设集合A={（x₁，x₂，x₃，x₄）|x_i∈{-1，0，1，2}，i=1，2，3，4}，那么集合A中满足条件“1≤|sin$\frac{{x}_{1}π}{2}$|+|sin$\frac{{x}_{2}π}{2}$|+|sin$\frac{{x}_{3}π}{2}$|+|sin$\frac{{x}_{4}π}{2}$|≤3”的元素个数为174．

Answer 1

分析 从条件“1≤|sin$\frac{{x}_{1}π}{2}$|+|sin$\frac{{x}_{2}π}{2}$|+|sin$\frac{{x}_{3}π}{2}$|+|sin$\frac{{x}_{4}π}{2}$|≤3”入手，由x得取值，绝对值只能是1或0，将x分为两组A={0}，B={-1，1}，分别讨论x_i所有取值的可能性，分为4个数值中有1个是0，2个是0，3个是0这样的三种情况分别进行讨论

解答 解：由题目中“1≤|sin$\frac{{x}_{1}π}{2}$|+|sin$\frac{{x}_{2}π}{2}$|+|sin$\frac{{x}_{3}π}{2}$|+|sin$\frac{{x}_{4}π}{2}$|≤3”考虑x₁，x₂，x₃，x₄的可能取值，设A={0}，B={-1，1，2}
分为①有1个取值为0，另外3个从B中取，共有方法数：${C}_{4}^{1}$•3³=108；
②有2个取值为0，另外2个从B中取，共有方法数：${C}_{4}^{2}$•3²=54；
③有3个取值为0，另外1个从B中取，共有方法数：${C}_{4}^{3}$•3¹=12
∴元素个数为108+54+12=174．
故答案为：174．

点评 本题看似集合题，其实考察的是用排列组合思想去解决问题．其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法