Question

在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，，AB＝PB＝PC＝BC＝2CD，平面PBC⊥平面ABCD．

（Ⅰ）求证：AB⊥平面PBC；

（Ⅱ）求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小；

 

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为，所以，

因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC平面ABCD＝BC，AB平面ABCD，

所以AB⊥平面PBC．

（Ⅱ）如图，取BC的中点O，连接PO，因为PB=PC，所以PO⊥BC。因为PB=PC，所以PO⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD。以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O－xyz。

不妨设BC＝2。由AB＝PB＝PC＝BC＝2CD得，

，

所以，

设平面PAD的法向量为．

因为，所以．

令，则，所以．

取平面BCP的一个法向量，

所以，

所以平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小为．