Question

设集合A，B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A的子集．
（1）若M={a₁，a₂，a₃，a₄}，直接写出所有不同的有序集合对（A，B）的个数；
（2）若M={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，求所有不同的有序集合对（A，B）的个数．

Answer 1

考点：排列、组合的实际应用,子集与真子集

专题：集合

分析：（1）根据定义，利用列举法即可得到结果；
（2）根据有序集合对的定义，利用数列的有关知识建立方程即可得到结论．

解答： 解：（1）若集合A含有1个元素，则A有

C

1 4

=4，不妨设A={1}，则B={2}，{3}，{4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{2，3，4}，此时B有7个，此时共有4×7=28个．
若集合A含有2个元素，则A有

C

2 4

=6种，不妨设A={1，2}，则B={3}，{4}，{3，4}，{1，4}，{1，3}，{1，3，4}，{2，3}，{2，4}，{2，3，4}，此时B有9个，此时共有6×9=54个．
若集合A含有3个元素，则A有

C

3 4

=4，不妨设A={1，2，3}，则B={4}，{1，4}，{2，4}，{3，4}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，此时B有7个，此时共有4×7=28个．
综上共有28+28+54=110种结果．
（2）集合M有2ⁿ个子集，不同的有序集合对（A，B）有2ⁿ（2ⁿ-1）个．
若A?B，并设B中含有k（1≤k≤n，k∈N^•）个元素，则满足A?B的有序
集合对 （A，B） 有

n

k=1

C

k n

(2k-1)=

n

k=0

C

k n

•2k-

n

k=0

C

k n

=3ⁿ-2ⁿ个．  
同理，满足B?A的有序集合对（A，B）有3ⁿ-2ⁿ个．      
故满足条件的有序集合对（A，B）的个数为2ⁿ（2ⁿ-1）-2（3ⁿ-2ⁿ）=4ⁿ+2ⁿ-2×3ⁿ．

点评：本题主要与集合有关是信息题，根据有序集合对的定义建立条件关系是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．