在平面直角坐标系xOy中.抛物线E:x2=4y的焦点F是椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的一个顶点．过点F且斜率为k的直线l交椭圆C于另一点D.交抛物线E于A.B两点.线段DF的中点为M.直线OM交椭圆C于P.Q两点.记直线OM的斜率为k'.满足$k•k'=-\frac{1}{4}$．(1)求椭圆C的方程,(2)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．

在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：x²=4y的焦点F是椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的一个顶点．过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于另一点D，交抛物线E于A、B两点，线段DF的中点为M，直线OM交椭圆C于P、Q两点，记直线OM的斜率为k'，满足$k•k'=-\frac{1}{4}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）记△PDF的面积为S₁，△QAB的面积为S₂，设${S_1}•{S_2}=λ{k^2}$，求实数λ的最大值及取得最大值时直线l的方程．

分析（1）由题意设出直线l的方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，求出D的坐标，利用中点坐标公式求得M的坐标，得到OM的斜率结合已知求得a值，则椭圆方程可求；
（2）由（1），知点D的坐标为（$-\frac{8k}{1+4{k}^{2}}，\frac{1-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$），又F（0，1），可得|DF|．由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，利用弦长公式求得|AB|．求出直线OM的方程为y=-$\frac{1}{4k}x$．由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=-\frac{1}{4k}x}\end{array}\right.$，求得P、Q的坐标，由点到直线的距离公式求得点P到直线kx-y+1=0的距离${d}_{1}=\frac{||k|•\sqrt{1+4{k}^{2}}+k|}{|k|•\sqrt{1+{k}^{2}}}$，点Q到直线kx-y+1=0的距${d}_{2}=\frac{||k|•\sqrt{1+4{k}^{2}}-k|}{|k|•\sqrt{1+{k}^{2}}}$．代入三角形面积公式，整理后利用基本不等式求得实数λ的最大值及取得最大值时直线l的方程．

解答解：（1）由题意可设直线l的方程为y=kx+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+a²k²）x²+2a²kx=0．
解得：${x}_{D}=-\frac{2{a}^{2}k}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，${y}_{D}=\frac{1-{a}^{2}{k}^{2}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$．
∴M（$-\frac{{a}^{2}k}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，$\frac{1}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$），则k′=${k}_{OM}=-\frac{1}{{a}^{2}k}$，
由$k•k'=-\frac{1}{4}$，得$k′•k=-\frac{1}{{a}^{2}}=-\frac{1}{4}$．
∴a²=4．
则椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1），知点D的坐标为（$-\frac{8k}{1+4{k}^{2}}，\frac{1-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$），又F（0，1），
∴|DF|=$\sqrt{（-\frac{8k}{1+4{k}^{2}}）^{2}+（\frac{1-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}-1）^{2}}=\frac{8|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4=0．
△=16k²+16＞0恒成立．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
因此$|AB|=\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）（16{k}^{2}+16）}=4（{k}^{2}+1）$．
由题意，直线OM的方程为y=-$\frac{1}{4k}x$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=-\frac{1}{4k}x}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²-16k²=0．
显然，△=-4（1+4k²）（-16k²）＞0恒成立，且x=$±\frac{4|k|}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$．
不妨设${x}_{P}=\frac{4|k|}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，则${y}_{P}=-\frac{1}{4k}{x}_{P}=（-\frac{1}{4k}）•\frac{4|k|}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}=-\frac{|k|}{k•\sqrt{1+4{k}^{2}}}$．
∴点P的坐标为（$\frac{4|k|}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}，-\frac{|k|}{k•\sqrt{1+4{k}^{2}}}$），而点Q的坐标为（$-\frac{4|k|}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}，\frac{|k|}{k•\sqrt{1+4{k}^{2}}}$）．
点P到直线kx-y+1=0的距离${d}_{1}=\frac{||k|•\sqrt{1+4{k}^{2}}+k|}{|k|•\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
点Q到直线kx-y+1=0的距离${d}_{2}=\frac{||k|•\sqrt{1+4{k}^{2}}-k|}{|k|•\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴${S}_{1}=\frac{1}{2}•|DF|•{d}_{1}=\frac{1}{2}•\frac{8|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}•\frac{||k|•\sqrt{1+4{k}^{2}}+k|}{|k|•\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{4||k|•\sqrt{1+4{k}^{2}}+k|}{1+4{k}^{2}}$．
${S}_{2}=\frac{1}{2}•|AB|•{d}_{2}$=$\frac{1}{2}•4（{k}^{2}+1）•\frac{||k|•\sqrt{1+4{k}^{2}}-k|}{|k|•\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{{k}^{2}+1}•||k|•\sqrt{1+4{k}^{2}}-k|}{|k|}$．
∴S₁S₂=$\frac{8\sqrt{{k}^{2}+1}|{k}^{2}（1+4{k}^{2}）-{k}^{2}|}{（1+4{k}^{2}）|k|}=\frac{32{k}^{4}\sqrt{{k}^{2}+1}}{（1+4{k}^{2}）|k|}$=$\frac{32{k}^{2}|k|\sqrt{{k}^{2}+1}}{1+4{k}^{2}}$．
∵${S_1}•{S_2}=λ{k^2}$，
∴$λ=\frac{32|k|\sqrt{{k}^{2}+1}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{16}{\sqrt{3}}•\frac{2\sqrt{3{k}^{2}}•\sqrt{{k}^{2}+1}}{1+4{k}^{2}}≤\frac{16}{\sqrt{3}}•\frac{3{k}^{2}+（{k}^{2}+1）}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．
当且仅当3k²=k²+1，即k=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$时，等号成立．
∴实数λ的最大值为$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，λ取最大值时的直线方程为$y=±\frac{\sqrt{2}}{2}x+1$．

点评本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆、抛物线位置关系的应用，考查逻辑推理能力与运算能力，属压轴题．

练习册系列答案

同步解析与测评初中总复习指导与训练系列答案

4．如图是某企业2010年至2016年污水净化量（单位：吨）的折线图．

注：年份代码1～7分别对应年份2010～2016．
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程，预测2017年该企业污水净化量；
（3）请用数据说明回归方程预报的效果．
附注：参考数据：$\overline{y}$=54，$\sum_{i=1}^{7}$（t_i-$\overline{t}$）（y_i-$\overline{y}$）=21，$\sqrt{14}$≈3.74，$\sum_{i=1}^{7}$（y_i-$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$ ）²=$\frac{9}{4}$．
参考公式：相关系数r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$，回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{a}$+$\stackrel{∧}{b}$t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{t}$．
反映回归效果的公式为R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\stackrel{∧}{{y}_{i}}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$，其中R²越接近于1，表示回归的效果越好．

1．若α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列结论错误的是（　　）

	A．	如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等
	B．	如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β
	C．	如果α∥β，m?α，那么m∥β
	D．	如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n