Question

已知a＞0，函数f（x）=x+

a

a

（x＞0）．
（1）试用定义证明：f（x）在(

a

，+∞)上单调递增；
（2）若x∈[1，3]时，不等式f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数恒成立问题

专题：分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）利用函数单调性的对应证明f（x）在（

a

，+∞）上的单调性即可；
（Ⅱ）讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性，求出f（x）在[1，3]上的最小值f（x）_min，使f（x）_min≥2，从而求出a的取值范围．

解答： 解：（1）任取x₁、x₂∈（

a

，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

a

x1

）-（x₂+

a

x2

）=

(x1-x2)(x1x2-a)

x1x2

；┅（2分）
∵

a

＜x₁＜x₂，∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，x₁x₂-a＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（

a

，+∞）上单调递增；┅（6分）
（Ⅱ）f（x）在（0，

a

）上单调递减，在（

a

，+∞）上单调递增；
①若0＜a＜1，则f（x）在[1，3]上单调递增，f（x）_min=f（1）=1+a；
∴1+a≥2，即a≥1，∴a=1；┅（8分）
②若1＜a＜9，则f（x）在[1，

a

]上单调递减，在[

a

，3]上单调递增，
f（x）_min=f（

a

）=2

a

；
∴2

a

≥2，即a≥1，
∴1＜a＜9；┅（10分）
③若a≥9，则f（x）在[1，3]上单调递减，f（x）_min=f（3）=3+

a

3

；
∴3+

a

3

≥2，即a≥-3，∴a≥9；┅（12分）
综合①②③，a的取值范围是{a|a≥1}．┅（14分）

点评：本题考查了函数的单调性的证明问题，也考查了分类讨论思想求函数的最值问题，是中档题．