Question

【题目】已知幂函数（）在是单调减函数，且为偶函数.

（1）求的解析式；

（2）讨论的奇偶性，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案见解析。

【解析】

（1）根据幂函数的性质，幂函数在（0，+∞）是单调减函数，且为偶函数，得幂指数小于0，再由m∈z可求m的值；

（2）由（I）知F（x）=a+（a﹣2）x，分a=0，a=2，a≠0且a≠2三种情况利用定义分别判断函数的奇偶性．

(1)由于幂函数f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递减，所以m2－2m－3<0，求得－1<m<3，

因为m∈Z，所以m＝0,1,2.

因为f(x)是偶函数，

所以m＝1，

故f(x)＝.

(2)F(x)＝af(x)＋(a－2)x5·f(x)

＝a·＋(a－2)x.

当a＝0时，F(x)＝－2x，对于任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F(x)＝－F(－x)，

所以F(x)＝－2x是奇函数；

当a＝2时，，对于任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F(x)＝F(－x)，

所以是偶函数；

当a≠0且a≠2时，F(1)＝2a－2，F(－1)＝2，

因为F(1)≠F(－1)，F(1)≠－F(－1)，

所以是非奇非偶函数．