Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣ ，g（x）=2ln（x+1）+e﹣x ．
（1）x∈（﹣1，+∞）时，证明：f（x）＞0；
（2）a＞0，若g（x）≤ax+1，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=ex﹣ ，f′（x）=ex﹣x﹣1，

令p（x）=f′（x）=ex﹣x﹣1，p′（x）=ex﹣1，

在（﹣1，0）内，p′（x）＜0，p（x）单减；在（0，+∞）内，p′（x）＞0，p（x）单增．

所以p（x）的最小值为p（0）=0，即f′（x）≥0，

所以f（x）在（﹣1，+∞）内单调递增，即f（x）＞f（﹣1）＞0．

（2）解：令h（x）=g（x）﹣（ax+1），则h′（x）= ﹣e﹣x﹣a，

令q（x）= ﹣e﹣x﹣a，q′（x）= ﹣ ．

由（1）得q′（x）＜0，则q（x）在（﹣1，+∞）上单调递减．

①当a=1时，q（0）=h′（0）=0且h（0）=0．

在（﹣1，0）上h′（x）＞0，h（x）单调递增，在（0，+∞）上h'（x）＜0，h（x）单调递减，

所以h（x）的最大值为h（0），即h（x）≤0恒成立．

②当a＞1时，h′（0）＜0，

x∈（﹣1，0）时，h′（x）= ﹣e﹣x﹣a＜ ﹣1﹣a=0，解得x= ∈（﹣1，0）．

即x∈（ ，0）时h′（x）＜0，h（x）单调递减，

又h（0）=0，所以此时h（x）＞0，与h（x）≤0恒成立矛盾．

③当0＜a＜1时，h′（0）＞0，

x∈（0，+∞）时，h′（x）= ﹣e﹣x﹣a＞ ﹣1﹣a=0，解得x= ∈（0，+∞）．

即x∈（0， ）时h′（x）＞0，h（x）单调递增，

又h（0）=0，所以此时h（x）＞0，与h（x）≤0恒成立矛盾．

综上，a的取值为1．

【解析】（1）求出函数的导数，令p（x）=f′（x），推出p′（x）=ex﹣1，
求出函数p（x）的最小值为p（0）=0，判断f（x）在（﹣1，+∞）内单调递增，证明f（x）＞0．（2）令h（x）=g（x）﹣（ax+1），得到h′（x）= ﹣e﹣x﹣a，构造q（x）= ﹣e﹣x﹣a，求出q′（x）= ﹣ ．求出q（x）在（﹣1，+∞）上单调递减，①当a=1时，求出h（x）的最大值为h（0），即h（x）≤0恒成立．②当a＞1时，h′（0）＜0，推出h（x）＞0，与h（x）≤0恒成立矛盾．③当0＜a＜1时，推出h（x）＞0，与h（x）≤0恒成立矛盾．推出a的取值为1．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．