Question

【题目】如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，∠ABC=60°，M是AB的中点．

（I）求证：EM⊥AD；
（II）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值；
（III）在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为45°，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：∵EA=EB，M是AB的中点，∴EM⊥AB，
∵平面ABE⊥平面ABCD，
平面ABE∩平面ABCD=AB，EA平面ABE，
∴EM⊥平面ABCD，AD平面ABCD，
∴EM⊥AD．
（Ⅱ）解：∵EM⊥平面ABCD，∴EM⊥MC，∵△ABC是正三角形，
∴MC⊥AB．∴MB、MC、ME两两垂直．
建立如图所示空间直角坐标系M﹣xyz．

则M（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（0， ，0），E（0，0， ），
=（﹣1， ，0）， =（﹣1，0， ），
设 =（x，y，z）是平面BCE的一个法向量，
则 ，
令z=1，得 =（ ），
∵y轴与平面ABE垂直，∴ =（0，1，0）是平面ABE的一个法向量．
cos＜ ＞= = = ，
∴二面角A﹣BE﹣C的余弦值为 ．
（III）假设在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为45°．
=（1，0， ）， =（0， ），
设 = =（0 ，﹣ ），（00≤λ≤1），
则 = ，
∵直线AP与平面ABE所成的角为45°，
∴sin45°=|cos＜ ＞|= = = ，
由0≤λ≤1，解得 ，
∴在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为45°，且 = ．
【解析】（Ⅰ）推导出EM⊥AB，从而EM⊥平面ABCD，由此能证明EM⊥AD．（Ⅱ）推导出EM⊥MC，MC⊥AB，从而MB、MC、ME两两垂直，建立空间直角坐标系M﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣C的余弦值．（III）求出 和平面ABE的法向量，利用向量法能示出在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为45°，且 = ．
【考点精析】本题主要考查了空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．