题目内容

【题目】已知f(x)=ex+acosx(e为自然对数的底数).
(1)若f(x)在x=0处的切线过点P(1,6),求实数a的值;
(2)当x∈[0, ]时,f(x)≥ax恒成立,求实数a的取值范围.

【答案】
(1)解:∵f'(x)=ex﹣asinx,∴f'(0)=1.f(0)=1+a,

∴f(x)在x=0处的切线方程为y=x+1+a,

∵切线过点P(1,6),∴6=2+a,∴a=4


(2)解:由f(x)≥ax,可得ex≥a(x﹣cosx),(*)

令g(x)=x﹣cosx,

∴g'(x)=1+sinx>0,且g(0)=﹣1<0,

∴存在 ,使得g(m)=0,

当x∈(0,m)时,g(m)<0;当 时,g(m)>0.

①当x=m时,em>0,g(m)=m﹣cosm=0,

此时,对于任意a∈R(*)式恒成立;

②当 时,g(x)=x﹣cosx>0,

由ex≥a(x﹣cosx),得

,下面研究h(x)的最小值.

与t(x)=x﹣cosx﹣sinx﹣1同号,

且t'(x)=1+sinx﹣cosx>0对 成立,

∴函数t(x)在 上为增函数,而

时,t(x)<0,∴h'(x)<0,

∴函数h(x)在 上为减函数,∴ ,∴

③当x∈[0,m)时,g(x)=x﹣cosx<0,

由ex≥a(x﹣cosx),得

由②可知函数 在[0,m)上为减函数,

当x∈[0,m)时,h(x)max=h(0)=﹣1,∴a≥﹣1,

综上,


【解析】(1)求导数,可得f(x)在x=0处的切线方程,利用f(x)在x=0处的切线过点P(1,6),求实数a的值;(2)由f(x)≥ax,可得ex≥a(x﹣cosx),令g(x)=x﹣cosx, ,分类讨论由ex≥a(x﹣cosx),得 ,令 ,研究h(x)的最值,即可求实数a的取值范围.
【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数,需要了解求函数上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能得出正确答案.

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