Question

已知函数f（x）=（nx-n+2）e^x（其中n∈R，e为自然对数的底数），求f（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,指数型复合函数的性质及应用

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：求出函数的导数，对参数n的范围进行分区间讨论，以确定f（x）在[0，1]上的最大值

解答： 解：f′（x）=（nx+2）e^x，
当n≥0时，导数为正，故函数f（x）在[0，1]上增，此时最大值为f（1）=（n-n+2）e¹=2e
当n＜0时，令导数为0，解得x=-

2

n

＞0，故当-

2

n

≥1时，即-2≤n＜0，函数f（x）在[0，1]上减，此时最大值为f（0）=（-n+2）e⁰=2-n
当0＜-

2

n

＜1时，即n＜-2时，由于f（0）=（-n+2）e⁰=2-n＞4，f（1）=（n-n+2）e¹=2e，故最大值为max{2-n，2e}
综上，n≥0时，f（x）_max=2e；当-2≤n＜0时，最大值为2-n，当n＜-2时，最大值为max{2-n，2e}．

点评：利用导数，确定出函数的单调区间是解答本题的关键，本题考查了分类讨论的思想