题目内容

已知函数f（x）=1+a-4asinx-cos2x（a为常数，x∈[
π
6
，π]），求f（x）的最小值g（a）．
考点：函数的最值及其几何意义
专题：函数的性质及应用
分析：利用换元法将函数转化为关于t的一元二次函数，讨论对称轴和区间的关系即可得到结论．
解答： 解：f（x）=1+a-4asinx-cos2x=f（x）=sin2x-4asinx+a，
令t=sinx，∵x∈[
π
6
，π]），∴t∈[0，1]，
则函数等价为y=t2-4at+a，对称轴为直线t=2a，
（1）若2a≤0即a≤0时，y=t2-4at+a在[0，1]内递增，
当t=0时，函数取得最小值，则此时最小值为g（a）=a．
（2）若0＜2a＜1，即0＜a＜
1
2
时．
当t=2a，函数取得最小值g（a）=4a2-8a2+a=a-4a2，
（3）若2a≥1，即a≥
1
2
时，y=t2-4at+a在[0，1]内递减，
当t=1，函数取得最小值g（a）=-3a+1，
 综上，g（a）=
a，a≤0
a-4a2，0＜a＜
1
2
-3a+1，a≥
1
2
．
点评：本题主要考查函数最值的求解，利用换元法结合二次函数的性质是解决本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
在“十一”期间，某电器专卖店设计了一项家用小型空调有奖促销活动，每购买一台空调，即可通过电脑产生一组3个数的随机数组，并根据下表兑奖：
奖次一等奖二等奖三等奖
随机数组特征3个8或3个1只有2个8或只有2个1只有一个8或只有1个1
奖金（单位：元）4m2mm
商家为了解计划的可行性，以便估计奖金数，进行了随机模拟试验产生了20组随机数，每组三个数，试验结果如下：247，235，145，124，754，353，296，658，379，011，521，356，208，954，245，364，135，888，357，265．
（Ⅰ）在以上20组数中，随机抽取3组数，求至少有一组获奖的概率；
（Ⅱ）根据上述模拟试验的结果，将频率视为概率：
①若活动期间，某人购买3台空调，求恰好有一台中奖的概率；
②若本次活动计划平均每台空调的奖金不超过300元，求m的最大值．
已知函数F（x）=lnx-ax-
a-1
x
+1．
（1）若曲线y=F（x）在点（2，F（2））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；
（2）若0≤a≤
1
2
，求函数F（x）的单调区间；
（3）若曲线y=F（x）（x∈[1，2]）上任意两点（x1，F（x1）），（x2，F（x2））的连线的斜率恒大于-a-1，求实数a的取值范围．
设函数f（x）=
2x-4
+
5-x
的最大值为M．
（Ⅰ）求实数M的值；
（Ⅱ）求关于x的不等式|x-1|+|x+2|≤M的解集．
设在平面上取定一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴，以θ=
π
2
的射线作为y轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立直角坐标系，已知曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2，直线l的参数方程
x=1-t
y=2t
（t为参数）．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）设平面上伸缩变换的坐标表达式为
X=2x
Y=y
，求C在此变换下得到曲线C'的方程，并求曲线C′内接矩形的最大面积．
已知矩阵M=
12
21

（1）求M的逆矩阵M-1；
（2）求直线l：x=1经M对应的变换TM变换后的直线l′的方程；
（3）判断
α
=
-1
1
是否为M的特征向量．
已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，n∈N*
（Ⅰ）证明列{an+1}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn，n∈N*．证明：数列{bn}是等差数列．
（Ⅲ）证明：
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
＜
n
2
，n∈N*．
已知y=f（x）在R上的图象是一条连贯的曲线，且对于?∈R，f′（x）均存在，当x≠0时，f′（x）+
f(x)
x
＞0，则关于x的函数g（x）=f（x）+
1
x
的零点的个数为
 
．
若函数f（x）=4x2-mx+5在（-∞，2）上为增函数，在[2，60]上为减函数，则f（1）=
 
．

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